如圖，三棱錐中，是的中點(diǎn)，，，，，二面角的大小為．

（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

（1）取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MA，MB得到
又，即 
又
平面
證得，證，平面 ；
(2)直線與平面所成角的正弦值為．

解析試題分析：（1）取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MA，MB            1分
所以
又，即            2分
又
即為的平面角           4分
所以
，平面
                5分
在中，，如圖②，取AM中點(diǎn)O
則知為正三角形，

即            6分
又
平面            7分
(2)解法一、向量法：
建立如圖直角坐標(biāo)系M-xyz           8分

，，， 
，，        9分
設(shè)平面的法向量為，即有       10分
得                          11分
設(shè)直線與平面所成角為
則                     13分
即直線與平面所成角的正弦值為．            14分
解法二、幾何法：提示：取AB中點(diǎn)N   
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為正方形，，
平面，為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
（3）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．

(Ⅰ) 求異面直線EF與BC所成角的大��；
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓上，AB//EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1。

（I）求證：BF⊥平面DAF；
（II）求多面體ABCDFE的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，

(I) 求證：平面PAD⊥平面PCD
(II)求二面角A－PC－D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知菱形，其邊長(zhǎng)為2，，繞著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上．

（1）求證：平面A1BC⊥平面ABB1A1；
（2）若，AB=BC=2，P為AC中點(diǎn)，求三棱錐的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF//AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求證：NC∥平面MFD；
（2）若EC=3，求證：ND⊥FC;
（3）求四面體NFEC體積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案