Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（x+φ），其中0＜φ＜π，x∈R，其圖象經(jīng)過點M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)y=1-2f（x）在[0，2π]內(nèi)的簡圖，并指出函數(shù)y=1-2f（x）在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{π}{3}$+φ），結(jié)合范圍0＜φ＜π，解得φ的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）利用“五點法”即可作出函數(shù)y=1-2f（x）在一個周期上的圖象，根據(jù)圖象即可求得函數(shù)y=1-2f（x）在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（x+φ），其中0＜φ＜π，x∈R，其圖象經(jīng)過點M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
∴$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{π}{3}$+φ），解得：$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，或$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即：φ=2kπ$-\frac{π}{6}$，或φ=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$．
故f（x）的解析式為：f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）y=1-2f（x）=1-2cosx，
列表：

x	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
cosx	1	0	-1	0	1
y=1-2cosx	-1	1	3	1	-1

作圖如下：

由函數(shù)圖象可得：函數(shù)y=1-2f（x）在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[π，2π]．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握五點法作圖的基本方法．