Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a，若f（x）≥0恒成立，實數(shù)a的取值范圍是[0，1]．

Answer 1

分析 由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f'（x）＜0；當x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數(shù)a的取值范圍是[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的解法，屬于中檔題．