Question

2．若對任意的x∈[0，1]，不等式$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$≤2-bx²恒成立，則正數(shù)b的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 討論x=0，0＜x≤1時，運用參數(shù)分離可得b≤$\frac{2-（\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}）}{{x}^{2}}$，對右邊函數(shù)進行化簡，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值，進而得到b的最大值．

解答 解：當x=0時，2=2，與b無關；
當x≠0時，$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$≤2-bx²，
即為bx²≤2-（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$）
即為b≤$\frac{2-（\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}）}{{x}^{2}}$                   
即b≤$\frac{4-（1-x）-（1+x）-2\sqrt{（1+x）（1-x）}}{{x}^{2}（2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}）}$=$\frac{2-2\sqrt{1-{x}^{2}}}{{x}^{2}（2+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）}$                    
即b≤$\frac{4-4（1-{x}^{2}）}{{x}^{2}（2+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）（2+2\sqrt{1-{x}^{2}}）}$，
即b≤$\frac{4}{（2+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）（2+2\sqrt{1-{x}^{2}}）}$，
至此，問題變?yōu)榍骩2+（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$）]（2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$）在（0，1]上的最大值，
首先看y=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，顯然隨x的增大而減小，
然后看u=2+$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$=2+$\sqrt{1-x+1+x+2\sqrt{1-{x}^{2}}}$=2+$\sqrt{2+2\sqrt{1-{x}^{2}}}$
顯然也隨x的增大而減小，
所以x越小，[2+（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$）]（2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$）越大，
當0＜x≤1時，[2+（$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$）]（2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$）＜16，
則$\frac{4}{（2+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）（2+2\sqrt{1-{x}^{2}}）}$＞$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
所以b≤$\frac{1}{4}$，
即b的最大值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和化簡整理，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于難題．