Question

18．無窮數(shù)列 P：a₁，a₂，…，a_n，…，滿足a_i∈N^*，且a_i≤a_i+1（i∈N^*），對(duì)于數(shù)列P，記T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），其中min{n|a_n≥k}表示集合{n|a_n≥k}中最小的數(shù)．
（Ⅰ） 若數(shù)列P：1?3?4?7?…，寫出T₁（P），T₂（P），…，T₅（P）；
（Ⅱ）若T_k（P）=2k-1，求數(shù)列P 前n項(xiàng)的和；
（Ⅲ）已知a₂₀=46，求s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意直接可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過分析可得a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，…，a_2n-1=a_2n=n，…分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況考慮即可；
（Ⅲ）考查符合條件的數(shù)列P中，存在某個(gè)i（i≤i≤19）滿足a_i≤a_i+1，通過T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），可得${T}_{{a}_{i}+1}$（P）=i+1，故只需將數(shù)列P略作調(diào)整，僅將第a_i的值增加1，即調(diào)整后s′=s．如果數(shù)列{a_n′}還有存在相鄰兩項(xiàng)不相等，繼續(xù)做以上的操作，最終一定可以經(jīng)過有限次的操作，使得{a_n}中的每一項(xiàng)變?yōu)橄嗟龋�且操作中保持s的值不變，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列P：1?3?4?7?…，即從第三項(xiàng)起每項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=2，T₃（P）=2，T₄（P）=3，T₅（P）=4；
（Ⅱ）∵T_k（P）=2k-1，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=3，T₃（P）=5，T₄（P）=7，…
∵T₂（P）=3，且T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），
∴a₃≥2，且a₂＜2，
同理，由T₃（P）=5，且T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），
得a₅≥3，a₄＜3，
以此類推，得a₇≥4，a₆＜4；…；a_2n-1≥n，a_2n-2＜n；…
∵a_i≤a_i+1（i∈N^*），a_i∈N^*，
∴a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，…，a_2n-1=a_2n=n，…
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（1+2+…+$\frac{n-1}{2}$）+$\frac{n+1}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（1+2+…+$\frac{n}{2}$）=$\frac{{n}^{2}+2n}{4}$，
∴數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）^{2}}{4}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}+2n}{4}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）考查符合條件的數(shù)列P中，
若存在某個(gè)i（1≤i≤19）滿足a_i≤a_i+1，
對(duì)應(yīng)可得T_k（P），及s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）．
∵T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），∴${T}_{{a}_{i}+1}$（P）=i+1，
下面將數(shù)列P略作調(diào)整，僅將第a_i的值增加1，具體如下：
將a_j′=a_j+1，對(duì)于任何j（j≠1）令a_j′=a_j，可得數(shù)列P′及其對(duì)應(yīng)數(shù)列T_k（P′），
根據(jù)數(shù)列T_k（P′）的定義，可得${T}_{{a}_{i}+1}$（P′）=i，且T_j（P′）=T_j（P）（j≠a_i+1）．
顯然${T}_{{a}_{i}+1}$（P′）=${T}_{{a}_{i}+1}$（P）-1，
∴s′=a₁′+a₂′+…+a₂₀′+T₁（P′）+T₂（P′）+…+T₄₆（P′）
=a₁+a₂+…+a_i-1+（a_i+1）+a_i+1+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+（${T}_{{a}_{i}+1}$-1）+${T}_{{a}_{i}+2}$+…+T₄₆（P）
=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=s，
即調(diào)整后s′=s．
如果數(shù)列{a_n′}還有存在相鄰兩項(xiàng)不相等，繼續(xù)做以上的操作，
最終一定可以經(jīng)過有限次的操作，使得{a_n}中的每一項(xiàng)變?yōu)橄嗟龋?br />且操作中保持s的值不變，
而當(dāng)a₁=a₂=…=a₂₀=46時(shí)，T₁（P）=T₂（P）=…=T₄₆（P）=1，
∴s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=46×20+46=966．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道建立在數(shù)列上的新定義題，考查分類討論的思想，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．