Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的下頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)均在軸右側(cè)，且時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求直線的方程，即得B坐標(biāo)，有；再將N坐標(biāo)代入橢圓方程解得a（2）設(shè)直線的斜率為，解得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得Q，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組解得M,N，根據(jù)橫坐標(biāo)之間比例關(guān)系求k,即得直線的方程．

試題解析：解：（1）由，得直線的方程為．

令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以橢圓的方程為．

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）方法一：設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．

在中，令，得，而點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以．

所以直線的斜率．

聯(lián)立，消去，得，解得．

用代，得．

又，所以，得．

故，又，解得．

所以直線的方程為．

方法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

由，得直線的方程為，令，得．

同理，得．

而點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，故．

又，所以，得，從而，

解得．

將代入到橢圓C的方程中，得．

又，所以，即，

解得（舍）或．又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

故直線的方程為．