Question

【題目】將圓上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)軸分別交于半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為： ，且直線在直角坐標(biāo)系中與軸分別交于兩點(diǎn).

（1）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；

（2）問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得的面積，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）曲線的參數(shù)方程為，直線的普通方程為。（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為。

【解析】試題分析：（1）根據(jù)伸縮變換可以得到曲線為橢圓，故其參數(shù)方程為，對(duì)于極坐標(biāo)方程，展開后利用可轉(zhuǎn)化為普通方程.（2）利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積為求出其到直線的距離為，也即是，從而求出，也就得到的坐標(biāo).

解析：（1）曲線 ，故曲線 的參數(shù)方程為 (為參數(shù))

直線 的普通方程為： .

（2）設(shè)曲線 上點(diǎn) ，點(diǎn)到直線的距離為，則，又 ，故 ，當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，即 ，此時(shí) ，故在曲線上存在點(diǎn)，使得的面積，點(diǎn)的坐標(biāo)為.