Question

19．阿海準(zhǔn)備購(gòu)買“海馬”牌一輛小汽車，其中購(gòu)車費(fèi)用12.8萬(wàn)元，每年的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.95萬(wàn)元，年維修、保養(yǎng)費(fèi)第一年是0.1萬(wàn)元，以后逐年遞增0.1萬(wàn)元．請(qǐng)你幫阿海計(jì)算一下這種汽車使用多少年，它的年平均費(fèi)用最少？

Answer 1

分析 由題意可得每年維修、保養(yǎng)費(fèi)依次構(gòu)成以0.1萬(wàn)元為首項(xiàng)，0.1萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，設(shè)汽車的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則有y=$\frac{12.8+0.95x+0.05x（x+1）}{x}$=1+$\frac{12.8}{x}$+0.05x（x＞0），再由基本不等式即可得到所求最小值，及等號(hào)成立的條件．

解答 解：依題意知汽車每年維修、保養(yǎng)費(fèi)依次構(gòu)成以0.1萬(wàn)元為首項(xiàng)，0.1萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列．
因此汽車使用x年總的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為$\frac{x（0.1+0.1x）}{2}$=0.05x（x+1）萬(wàn)元，
設(shè)汽車的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，
則有y=$\frac{12.8+0.95x+0.05x（x+1）}{x}$=1+$\frac{12.8}{x}$+0.05x（x＞0），
由x＞0，可得$\frac{12.8}{x}$+0.05x≥2$\sqrt{\frac{12.8}{x}•0.05x}$=1.6，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{12.8}{x}=\frac{0.1x}{2}$，即x=16時(shí)等號(hào)成立．
則y≥2.6，當(dāng)x=16時(shí)，取得最小值2.6．
答：這種汽車使用16年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題的解法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．