Question

4．已知直線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，$\sqrt{3}$）與圓x²+y²=12相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2$\sqrt{3}$，則l方程為x=-3或$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0．

Answer 1

分析 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x=-3；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+3）+$\sqrt{3}$，圓x²+y²=12的圓心（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，圓心到直線y=k（x+3）+$\sqrt{3}$的距離d=$\frac{|3k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由此能求出直線l的方程．

解答 解：直線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，$\sqrt{3}$）與圓x²+y²=12相交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x=-3，
把x=-3代入圓x²+y²=12，得A（-3，-$\sqrt{3}$），B（-3，$\sqrt{3}$），|AB|=2$\sqrt{3}$，成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+3）+$\sqrt{3}$，
圓x²+y²=12的圓心（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，
圓心到直線y=k（x+3）+$\sqrt{3}$的距離d=$\frac{|3k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵|AB|=2$\sqrt{3}$，∴${r}^{2}=rvfcyl5^{2}+（\frac{|AB|}{2}）^{2}$，
即12=$\frac{（3k+\sqrt{3}）^{2}}{{k}^{2}+1}$+3，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3）+$\sqrt{3}$，即$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0，
∴直線l的方程為x=-3或$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0．
故答案為：x=-3或$\sqrt{3}x-3y+6\sqrt{3}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．