Question

12．已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）²+y²=3．
（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若直線1和圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

分析 （1）由直線系方程可得直線過圓內(nèi)的定點(diǎn)，則直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）由已知可得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得k值．

解答 （1）證明：∵直線l：y=kx+1過定點(diǎn)（0，1），
把（0，1）代入圓C：（x-1）²+y²=3，有（0-1）²+1²=2＜3，
可得點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)部，
∴不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：由OM⊥ON，且圓的半徑為$\sqrt{3}$，∴圓心C（1，0）到直線l：y=kx+1的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
則$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得：k=2$±\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．