Question

4．在正三棱錐P-ABC中，底面邊長AB=$\sqrt{2}$，側(cè)棱PA=1，M，N分別是線段PA，BC上的動點(diǎn)（可以和端點(diǎn)重合），則|MN|的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}，\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，∵PA=PB=PC=1，AB=BC=CA=$\sqrt{2}$，
${1}^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}$，
∴PA，PB，PC兩兩垂直．
建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)M（x，0，0），（x∈[0，1]）．
設(shè)$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BC}$，（λ∈[0，1]）．
則$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PB}$+λ$\overrightarrow{BC}$=（0，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-x，1-λ，λ），
∴$|\overrightarrow{MN}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$，x=0時，$|\overrightarrow{MN}|$取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當(dāng)λ=0或1，x=1時，$|\overrightarrow{MN}|$取得最大值$\sqrt{2}$．
∴$|\overrightarrow{MN}|$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}]$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的計(jì)算公式解決問題的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．