Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（I）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）化簡可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，從而證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，再求通項(xiàng)公式即可；
（II）化簡b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=ncos（n+1）π，從而可得S_n=1-2+3-4=…+（-1）ⁿ⁺¹n，故分類討論即可．

解答 解：（I）∵a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
故a_n=n•2ⁿ；
（II）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=ncos（n+1）π，
故S_n=1-2+3-4=…+（-1）ⁿ⁺¹n，
 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=1-2+3-4=…-n=-$\frac{n}{2}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
S_n=1-2+3-4=…+n=-$\frac{n-1}{2}$+n=$\frac{n+1}{2}$；
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{n+1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法與分類討論的思想方法應(yīng)用．