Question

19．（1-x²）⁴（$\frac{x+1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)為（　�。�

• A． 5
• B． 11
• C． -21
• D． -29

Answer 1

分析 根據(jù)題意，化（1-x²）⁴（$\frac{x+1}{x}$）⁵=（1-x²）⁴（1+$\frac{1}{x}$）⁵，得出展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)是由（1-x²）⁴中的常數(shù)項(xiàng)、含x²、x⁴的系數(shù)分別與（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中含$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{{x}^{3}}$、$\frac{1}{{x}^{5}}$的系數(shù)乘積的和；由此求出結(jié)果．

解答 解：∵（1-x²）⁴（$\frac{x+1}{x}$）⁵=（1-x²）⁴（1+$\frac{1}{x}$）⁵，
其展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)是由以下幾部分的和；
（1-x²）⁴的常數(shù)項(xiàng)與（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中含$\frac{1}{x}$的系數(shù)的乘積；
（1-x²）⁴含x²的系數(shù)與（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中含$\frac{1}{{x}^{3}}$的系數(shù)的乘積；
（1-x²）⁴含x⁴的系數(shù)與（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中含$\frac{1}{{x}^{5}}$的系數(shù)的乘積；
∵（1-x²）⁴、（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式分別為：
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（-x²）^r，T_s+1=${C}_{5}^{s}$•${（\frac{1}{x}）}^{s}$，
∴（1-x²）⁴（1+$\frac{1}{x}$）⁵的展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)為：
${C}_{4}^{0}$•${C}_{5}^{1}$-${C}_{4}^{1}$•${C}_{5}^{3}$+${C}_{4}^{2}$•${C}_{5}^{5}$=-29．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．