Question

14．已知函數(shù)f（x）=a-bsin（2x-$\frac{π}{4}$）（b＜0）的最大值為$\frac{4}{3}$，最小值為$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{8}$，m]上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若f（$\frac{ω}{2}$x）（ω＞0）的最小正周期不大于3π，求實數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用正弦函數(shù)的最值，求得a、b的值．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的單調性，求得實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）由條件利用正弦函數(shù)的周期性，求得實數(shù)ω的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=a-bsin（2x-$\frac{π}{4}$）（b＜0）的最大值為a-b=$\frac{4}{3}$，最小值為a+b=$\frac{2}{3}$，
∴求a=1、b=-$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）由以上可得f（x）=1+$\frac{1}{3}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），若f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{8}$，m]上為增函數(shù)，
則2•（-$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{4}$≥-$\frac{π}{2}$，且 2m-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，求得m≤$\frac{3π}{8}$．
（Ⅲ）若f（$\frac{ω}{2}$x）=1+$\frac{1}{3}$sin（2•$\frac{ω}{2}x$-$\frac{π}{4}$）=1+$\frac{1}{3}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期不大于3π，
則$\frac{2π}{ω}$≤3π，∴ω≥$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調性和周期性，屬于基礎題．