Question

16．已知直線$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0經(jīng)過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)，若∠AOB為鈍角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，分別令y=0，x=0，可得橢圓右焦點(diǎn)（1，0），上頂點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$）．又a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，即可得出．
（2）由題意可知：直線l的斜率垂直，可設(shè)直線l的方程為：y=kx-2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（4k²+3）x²-16kx+4=0，△＞0，可得k²$＞\frac{1}{4}$．由∠AOB為鈍角，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由直線$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，分別令y=0，x=0，可得橢圓右焦點(diǎn)（1，0），上頂點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$）．
∴c=1，b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由題意可知：直線l的斜率垂直，可設(shè)直線l的方程為：y=kx-2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵△＞0，∴k²$＞\frac{1}{4}$．
又x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$．
∵∠AOB為鈍角，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂＜0，x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）＜0，化為：（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0，
∴（1+k²）×$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$-2k×$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$+4＜0，化為k²$＞\frac{4}{3}$．解得$k＜-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或k$＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l的斜率k的取值范圍是$（-∞，\frac{-2\sqrt{3}}{3}）$∪$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．