Question

11．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點(diǎn)到直線y=x的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，設(shè)直線MA與MB的斜率為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）右焦點(diǎn)（c，0），則$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，與橢圓方程聯(lián)立可得：x²+2mbx+2m²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，分子=$（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）$+$（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 （1）解：右焦點(diǎn)（c，0），則$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得c=$\sqrt{6}$，a=2$\sqrt{2}$，b=2．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）證明：設(shè)直線l的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
化為：x²+2mbx+2m²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．又k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$．
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
分子=$（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）$+$（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）$=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0，
∴k₁+k₂=0，為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、斜率計(jì)算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．