Question

14．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，它的準(zhǔn)線過雙曲線C₁的左焦點(diǎn)F₁，若雙曲線C₁與拋物線C₂的交點(diǎn)P滿足PF₂⊥F₁F₂，雙曲線C₁的一個焦點(diǎn)到其漸近線距離的平方是2+2$\sqrt{2}$，則拋物線C₂的方程是y²=4（$\sqrt{2}$+1）x．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線的位置關(guān)系求出拋物線的焦點(diǎn)和方程，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出c即可得到結(jié)論．

解答 解：∵拋物線C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，它的準(zhǔn)線過雙曲線C₁的左焦點(diǎn)F₁，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），則拋物線方程為y²=4cx，
若雙曲線C₁與拋物線C₂的交點(diǎn)P滿足PF₂⊥F₁F₂，
則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=c，則y²=4c•c，則y=±2c，不妨設(shè)P（c，2c），
則PF₂=2c，F(xiàn)₁F₂=2c，則PF₁=2$\sqrt{2}$c，
∵PF₁-PF₂=2a，
∴2$\sqrt{2}$c-2c=2a，
則（$\sqrt{2}$-1）c=a，①
雙曲線的焦點(diǎn)F₂（c，0）到漸近線y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
∵雙曲線C₁的一個焦點(diǎn)到其漸近線距離的平方是2+2$\sqrt{2}$，
∴b²=2+2$\sqrt{2}$，②
聯(lián)立①②得c=$\sqrt{2}$+1，
則拋物線的方程為y²=4（$\sqrt{2}$+1）x，
故答案為：y²=4（$\sqrt{2}$+1）x

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出c的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．