Question

已知f（x）=-x³+ax在（0，1）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．（不能用導(dǎo)數(shù)解）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)1＞x₂＞x₁＞0，根據(jù)f（x₂）-f（x₁）≥0，求得a≥[x12+x₁•x₂+x22]，求得x12+x₁•x₂+x22＜3，
可得a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=-x³+ax在（0，1）是增函數(shù)，設(shè)1＞x₂＞x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=-x23+ax₂-（-x13+ax₁）=x13-x23+a（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）[-（x12+x₁•x₂+x22）+a（x₂-x₁）]=（x₂-x₁）[-（x12+x₁•x₂+x22）+a]．
要使f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函數(shù)，
應(yīng)有-（ x12+x₁•x₂+x22 ）+a≥0，即 a≥x12+x₁•x₂+x22．
由于1＞x₂＞x₁＞0，可得 x12+x₁•x₂+x22＜3，∴a≥3，
即a的范圍為[3，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明，求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．