Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2a_n-1=S_n，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=n-

n

2n

，n∈N^*，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式確定出數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由遞推式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=n-

n

2n

結(jié)合數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求得{b_n}的通項(xiàng)公式，分組后由等差數(shù)列好等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁-1=S₁=a₁，解得a₁=1．
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
則an=2n-1；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，

b1

a1

=

1

2

，∴b1=

1

2

．
當(dāng)n＞1時(shí)，由

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=n-

n

2n

，得

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn-1

an-1

=n-1-

n-1

2n-1

，
∴

bn

an

=n-

n

2n

-(n-1-

n-1

2n-1

)=1+

n-2

2n

．
∵an=2n-1，
∴bn=2n-1+

n-2

2

，
又當(dāng)n=1時(shí)符合該式，
∴bn=2n-1+

n-2

2

，n∈N*．
∴Tn=20+

-1

2

+21+

0

2

+…+2n-1+

n-2

2

，
即Tn=

1-2n

1-2

+

n(- 1 2 + n-2 2 )

2

=2n-1+

n2

4

-

3n

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的分組求和，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．