Question

17．設(shè)f（x）=$\sqrt{x}$-alnx，a∈R
（1）若a=2，求f（x）的最值；
（2）若f（x）存在最小值，求其最小值g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得極小值，也為最小值，無最大值；
（2）求出導數(shù)，對a討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得極值，也為最值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{x}$-2lnx的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{\sqrt{x}-4}{2x}$，
當x＞16時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜16時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=16處取得極小值，且為最小值4-2ln16，無最大值；
（2）f′（x）=$\frac{\sqrt{x}-2a}{2x}$，x＞0．
當a＞0時，當x＞4a²時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜4a²時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=4a²處取得極小值，且為最小值g（a）=2a-2aln2a；
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，f（x）無最小值．
綜上可得，f（x）的最小值g（a）=2a-2aln2a，a＞0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，以及運算能力，屬于中檔題．