Question

1．設(shè)（1+mx）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，x∈N^*．
（1）當(dāng)m=2時，若a₂=180，求n的值；
（2）當(dāng)m=$\sqrt{2}$，n=8時，求（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）²的值；
（3）當(dāng)m=-1，n=2016時，求S=$\sum_{k=0}^{2016}$$\frac{1}{{a}_{k}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用x²的系數(shù)為180得到關(guān)于n的方程解之；
（2）利用賦值法，將x分別賦值為1和-1，得到各項(xiàng)系數(shù)關(guān)系，對所求分解因式求值；
（3）將m，n代入，求出a_k，分析S表達(dá)式，得到即$\frac{1}{{C_{2016}^k}}=\frac{2017}{2018}（\frac{1}{{C_{2017}^k}}+\frac{1}{{C_{2017}^{k+1}}}）$，k=0，1，2，…，2016．  從而累加求和．

解答 解：（1）當(dāng)m=2時，${a_2}=C_n^2×{2^2}=180$，即$\frac{n（n-1）}{2}=45$，解得n=10或n=-9（舍），
所以n的值為10．          …（4分）
（2）當(dāng)$m=\sqrt{2}$，n=8時，
令x=1，則${（1+\sqrt{2}）^8}={a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}+{a_5}+{a_6}+{a_7}+{a_8}$，
令x=-1，則${（1-\sqrt{2}）^8}={a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+{a_4}-{a_5}+{a_6}-{a_7}+{a_8}$，
所以${（{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}+{a_8}）^2}-{（{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}）^2}={（1+\sqrt{2}）^8}{（1-\sqrt{2}）^8}=1$．…（8分）
（3）當(dāng)m=-1，n=2016時，${（1-x）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_n}{x^n}$，
則${a_k}=C_{2016}^k{（-1）^k}$，k=0，1，2，…，2016，
所以$S=\frac{1}{{C_{2016}^0}}-\frac{1}{{C_{2016}^1}}+\frac{1}{{C_{2016}^2}}-\frac{1}{{C_{2016}^3}}+…-\frac{1}{{C_{2016}^{2015}}}+\frac{1}{{C_{2016}^{2016}}}$．   …（10分）
考慮$\frac{1}{{C_{2017}^k}}+\frac{1}{{C_{2017}^{k+1}}}=\frac{k!（2017-k）!}{2017!}+\frac{（k+1）!（2016-k）!}{2017!}$=$\frac{k!（2016-k）!×2018}{2017!}$=$\frac{2018}{2017}×\frac{1}{{C_{2016}^k}}$，
即$\frac{1}{{C_{2016}^k}}=\frac{2017}{2018}（\frac{1}{{C_{2017}^k}}+\frac{1}{{C_{2017}^{k+1}}}）$，k=0，1，2，…，2016．      …（14分）
所以$S=\frac{2017}{2018}[（\frac{1}{{C_{2017}^0}}+\frac{1}{{C_{2017}^1}}）-（\frac{1}{{C_{2017}^1}}+\frac{1}{{C_{2017}^2}}）+（\frac{1}{{C_{2017}^2}}+\frac{1}{{C_{2017}^3}}）-…$$-（\frac{1}{{C_{2017}^{2015}}}+\frac{1}{{C_{2017}^{2016}}}）+（\frac{1}{{C_{2017}^{2016}}}+\frac{1}{{C_{2017}^{2017}}}）]$=$\frac{2017}{2018}（\frac{1}{{C_{2017}^0}}+\frac{1}{{C_{2017}^{2017}}}）=\frac{2017}{1009}$．
故$S=\sum_{k=0}^{2016}{\frac{1}{a_k}}$的值為$\frac{2017}{1009}$．        …（16分）

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)問題；主要用到了賦值法的思想解答．