Question

16．設(shè)S_n=2³ⁿ+2^3n-3C${\;}_{n}^{1}$+2^3n-6C${\;}_{n}^{2}$+…+2³C${\;}_{n}^{n-1}$+1，則S₂₀₁₆被5除所得的余數(shù)是1．

Answer 1

分析 把S₂₀₁₆ =（10-1）²⁰¹⁶ 按照二項(xiàng)式定理展開，可得它除以5的余數(shù)．

解答 解：由題意可得S _n=2³ⁿ+2^3n-3C${\;}_{n}^{1}$+2^3n-6C${\;}_{n}^{2}$+…+2³C${\;}_{n}^{n-1}$+1=（2³+1）ⁿ=9ⁿ=（10-1）ⁿ 
=${C}_{n}^{0}$•10ⁿ-${C}_{n}^{1}$•10^n-1+${C}_{n}^{2}$•10^n-2+…+${C}_{n}^{n-1}$•10•（-1）^n-1+（-1）ⁿ，
∴S₂₀₁₆ =（10-1）²⁰¹⁶=${C}_{2016}^{0}$•10²⁰¹⁶-${C}_{10}^{1}$•10²⁰¹⁵+${C}_{10}^{2}$•10²⁰¹⁴+…-${C}_{2016}^{2015}$•10+1
由于除了最后一項(xiàng)，其余的各項(xiàng)都能被5整除，故它除以5的余數(shù)為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．