Question

8．若函數(shù)f（x）=1+$\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}$+sinx在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n的值是4．

Answer 1

分析 構(gòu)造奇函數(shù)g（x）=$\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}$+sinx-1，由于奇函數(shù)圖象的對稱性，得到函數(shù)值域的對稱，再對應(yīng)研究函數(shù)f（x）的值域，得到本題結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}$+sinx-1，
∴g（-x）=$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{-x}+1}+sin（-x）-1$=$\frac{2}{1+{2}^{x}}-sinx-1$，
∴g（-x）+g（x）=$\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}$+sinx-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}-sinx-1$=0，
∴g（-x）=-g（x）．
∴函數(shù)g（x）在奇函數(shù)，
則f（x）=g（x）+2，
即g（x）=f（x）-2，
∵f（x）在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，
∴當(dāng)f（x）取得最大值n時，g（x）也取得最大值g（x）_max=n-2，
f（x）取得最小值m時，g（x）也取得最小值g（x）_min=m-2，
∵函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的最大值和最小值互為相反數(shù)，
即g（x）_max+g（x）_min=n-2+m-2=0，
即m+n=4．
故答案為：4

點評 本題考查了奇函數(shù)的對稱性和值域，根據(jù)構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間上最值互為相反數(shù)建立方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．