Question

19．如果復(fù)數(shù)z=$\frac{6-bi}{1+2i}$（其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)．
①求z．
②求|z|．
③負(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限．
④若z（m+i）是純虛數(shù)，求m的值．
⑤求（$\frac{z}{\overline{z}}$）²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 ①化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi的形式，求出復(fù)數(shù)z．
②直接利用復(fù)數(shù)的模求解即可．
③求出復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果．
④利用復(fù)數(shù)的基本概念求解即可．
⑤利用復(fù)數(shù)的冪運(yùn)算求解即可．

解答 解：①?gòu)?fù)數(shù)z=$\frac{6-bi}{1+2i}$=$\frac{（6-bi）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{6-2b+（-12-b）i}{5}$，
復(fù)數(shù)z=$\frac{6-bi}{1+2i}$（其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，
可得6-2b=12+b，解得b=-2，
z=2-2i．
②|2-2i|=$\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
③復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2，-2）在第四象限．
④z（m+i）=（2-2i）（m+i）=2m+2+（2-2m）i，是純虛數(shù)，可得2m+2=0，解得m=-1．
⑤（$\frac{z}{\overline{z}}$）²⁰¹⁶=$（\frac{2+2i}{2-2i}）^{2016}$=$[{（\frac{1+i}{1-i}）^{2}]}^{1008}$=${[\frac{2i}{-2i}]}^{1008}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的基本概念以及冪運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．