Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{1}{{a}^{2}}$|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)．求不等式f（x）≤9的解集：
（2）若不等式f（x）≥m對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意正實(shí)數(shù)a恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的幾何意義，求得不等式的解集．
（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式，求得函數(shù)f（x）的最小值，可得m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)．求不等式f（x）≤9，即|x+2|+|x-1|≤9．
而|x+2|+|x-1|表示上軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而-5和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于9，
故|x+2|+|x-1|≤9的解集為[-5，4]．
（2）若不等式f（x）≥m對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意正實(shí)數(shù)a恒成立，故m≤f（x）_min．
∵f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{1}{{a}^{2}}$|≥|x+2a-（x-$\frac{1}{{a}^{2}}$）|=|2a+$\frac{1}{{a}^{2}}$|=|a+a+$\frac{1}{{a}^{2}}$|=|a|+|a|+|$\frac{1}{{a}^{2}}$|≥3，
∴m≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)以及解法，絕對(duì)值三角不等式，屬于中檔題．