【題目】如圖,已知在等腰梯形中,
,
,
,
,
=60°,沿
,
折成三棱柱
.
(1)若,
分別為
,
的中點(diǎn),求證:
∥平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
分析:(1)取的中點(diǎn)
,連接
,
,在三角形
中,得到
,證得
平面
,又由
,
分別為
,
的中點(diǎn)證得
平面
,即可證得面
平面
,利用面面平行的性質(zhì),即可得到
平面
.
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面
的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解二面角
的余弦值.
詳解:(1)取的中點(diǎn)
,連接
,
,在三角形
中,
∵,
分別為
,
的中點(diǎn),∴
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
由于,
分別為
,
的中點(diǎn),由棱柱的性質(zhì)可得
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
又平面
,
平面
,
,
∴平面平面
,∵
平面
,
∴平面
.
(2)連接,在
中,
,
,
∴,又
,
,
∴,∴
,又
且
,
∴平面
.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
可得,
,
,
,
,
,
.
設(shè)平面的法向量為
,
則,則
,令
,
得,則
為平面
的一個(gè)法向量,
設(shè)平面的法向量為
,則
,
則,令
,得
,
∴為平面
的一個(gè)法向量.
設(shè),
所成角為
,則
,
由圖可知二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù).
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù).
相關(guān)公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△中,已知
,直線
經(jīng)過點(diǎn)
.
(Ⅰ)若直線:
與線段
交于點(diǎn)
,且
為△
的外心,求△
的外接圓的方程;
(Ⅱ)若直線方程為
,且△
的面積為
,求點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且點(diǎn)O為AC中點(diǎn). (Ⅰ)證明:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1B﹣C1的大�。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1﹣x﹣ax2 . (Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求證:f(x)≥0;
(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí),若不等式f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若x>0,證明(ex﹣1)ln(x+1)>x2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,且當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),
成立,(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù));若
,
,
,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的方程(x﹣1)4+mx﹣m﹣2=0各個(gè)實(shí)根x1 , x2…xk(k≤4,k∈N*)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(xi),(i=1,2,3…k)均在直線y=x的同側(cè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣1,7)
B.(﹣∞,﹣7)U(﹣1,+∞)
C.(﹣7,1)
D.(﹣∞,1)U(7,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線 的方程為
,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
(1)求過點(diǎn)且與直線
平行的直線方程;
(2)求過點(diǎn)且與直線
垂直的直線方程.
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