Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其漸近線方程為y=±$\frac{2}{3}$x，若點(diǎn)P是其右支上（不同于右頂點(diǎn)）一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為3．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=0，可得漸近線方程；將內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成圓與橫軸切點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，PF₁-PF₂=F₁Q-F₂Q=6，F(xiàn)₁Q+F₂Q=F₁F₂解出OQ，即可求出△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其漸近線方程為y=±$\frac{2}{3}$x．
如圖設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，Q，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與Q橫坐標(biāo)相同．
由雙曲線的定義，PF₁-PF₂=2a=6．
由圓的切線性質(zhì)PF₁-PF₂=F_IM-F₂N=F₁Q-F₂Q=6，
∵F₁Q+F₂Q=F₁F₂=2$\sqrt{13}$，∴F₂Q=3+$\sqrt{13}$，OQ=3，
∴Q橫坐標(biāo)為3．
故答案為：y=±$\frac{2}{3}$x；3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，巧妙地借助于圓的切線的性質(zhì)是關(guān)鍵．