Question

11．如圖，BC是半圓的直徑，O是圓心，OA是與BC垂直的圓的半徑，P為半圓上一點(diǎn)（P與A、B、C不重合）．過(guò)P向BC作垂線，垂足為Q．OP和AQ的交點(diǎn)為M．試問(wèn)：當(dāng)P移動(dòng)時(shí)，M的軌跡是怎樣的曲線？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為r，P（m，n）（0＜m＜r），則直線OP的方程為y=$\frac{n}{m}$x，直線AQ的方程為$\frac{x}{r}$+$\frac{y}{n}$=1，求出n=$\frac{yr}{x-r}$，m=$\frac{xr}{x-r}$，利用m²+n²=r²，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為r，P（m，n）（0＜m＜r），則
直線OP的方程為y=$\frac{n}{m}$x，直線AQ的方程為$\frac{x}{r}$+$\frac{y}{n}$=1，
∴n=$\frac{yr}{x-r}$，m=$\frac{xr}{x-r}$，
∵m²+n²=r²，
∴（$\frac{xr}{x-r}$）²+（$\frac{yr}{x-r}$）²=r²，
∴y²=-2rx+r²，
∴M的軌跡是拋物線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．