Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x-2與橢圓C交于M，N兩點，O是原點，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：2a=6，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和為6．
∴2a=6，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，…（2分）
∴a=3，$c=\sqrt{6}$，
∴b²=a²-c²=3…（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$． …（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.⇒4{x^2}-12x+3=0$…（5分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=3，${x_1}•{x_2}=\frac{3}{4}$．
∴$|MN|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{2[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2（{3^2}-4×\frac{3}{4}）}=2\sqrt{3}$…（8分）
∵原點O到直線y=x-2的距離$d=\frac{|0-0-2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$…（9分）
∴△OMN的面積為$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$． …（10分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．