Question

17．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的幾何意義，化簡函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象，可寫單調(diào)區(qū)間；
（3）分類討論，利用函數(shù)的圖象，求函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，圖象如圖所示；
（2）由圖象可得，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是[1，2]．
（3）由圖象可得，0＜a＜1，函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個數(shù)是3
a=0或1，函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個數(shù)是2；
a＜0或a＞1，函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個數(shù)是1．

點(diǎn)評 本題考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，和利用圖象求函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．