Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項S_n=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$，若存在正整數(shù)n，使得（a_n-1-p）•（a_n-p）＜0成立，則實數(shù)p的取值范圍是$（-1，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 S_n=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$，可得：當n=1時，a₁=-1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．若存在正整數(shù)n，使得（a_n-1-p）•（a_n-p）＜0成立，當n=2時，（a₁-p）（a₂-p）＜0，解得p范圍．當n≥3時，$[（-1）^{n-1}•\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}-p]$$[（-1）^{n}\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}-p]$＜0，對n分類討論即可得出．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$，
∴當n=1時，a₁=-1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿ•$\frac{1}{n}$-（-1）^n-1$•\frac{1}{n-1}$=$（-1）^{n}•\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}$，
若存在正整數(shù)n，使得（a_n-1-p）•（a_n-p）＜0成立，
當n=2時，（a₁-p）（a₂-p）=（-1-p）$（\frac{3}{2}-p）$＜0，解得$-1＜p＜\frac{3}{2}$．
當n≥3時，$[（-1）^{n-1}•\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}-p]$$[（-1）^{n}\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}-p]$＜0，
當n=2k時，$（p+\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}）$$（p-\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}）$＜0，
∵$\frac{2n-3}{（n-1）（n-2）}$-$\frac{2n-1}{n（n-1）}$=$\frac{2}{n（n-2）}$＞0．
∴-$\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}$＜p＜$\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}$．
可得：-$\frac{5}{6}$＜p＜$\frac{7}{12}$．
當n=2k-1時，$（p-\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}）$$（p+\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}）$＜0，
-$\frac{2n-1}{{n}^{2}-n}$＜p＜$\frac{2n-3}{{n}^{2}-3n+2}$，
∴-$\frac{5}{6}$＜p＜$\frac{3}{2}$．
綜上可得：實數(shù)p的取值范圍是-1＜p＜$\frac{3}{2}$．．
故答案為：$（-1，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查了遞推關系、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．