Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{p{x^2}+1}}{x+q}$是奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{5}{2}$．
（1）求實數(shù)p，q的值；
（2）判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若對任意的t≥1，試比較f（t²-t+1）與f（2t²-t）的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和條件建立方程關(guān)系即可求實數(shù)p，q的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴$\frac{{p{{（{-x}）}^2}+1}}{-x+q}=-\frac{{p{x^2}+1}}{x+q}$恒成立，
∴q=0…（1分）
又∵f（2）=$\frac{5}{2}$．∴$\frac{4p+1}{2}=\frac{5}{2}$
∴p=1…（3分）
（2）∵$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}+\frac{1}{x_1}）-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{1}{{{x_1}•{x_2}}}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}•{x_2}-1）}}{{{x_1}•{x_2}}}$…（6分）
∵1≤x₁＜x₂＜+∞
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，∴x₁•x₂-1＞0
∴$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}•{x_2}-1）}}{{{x_1}•{x_2}}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)…（8分）
（3）∵y₁=t²-t+1的對稱軸為$t=\frac{1}{2}$，
∴y₁=t²-t+1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴y₁≥1-1+1=1…（9分）
又∵${y_2}=2{t^2}-t$的對稱軸為$t=\frac{1}{2}$，
∵${y_2}=2{t^2}-t=2{（t-\frac{1}{4}）^2}-\frac{1}{8}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y₂≥2-1=1…（10分）
又∴${y_2}-{y_1}=（2{t^2}-t）-（{t^2}-t+1）={t^2}-1≥0$，（t≥1）
∴y₂≥y₁，…（12分）
又∵f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞增，
∴f（y₂）≥f（y₁）
即f（t²-t+1）≤f（2t²-t）…（13分）

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．