Question

8．已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{11}{14}$，α，β均是銳角，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 由α，β為銳角，根據(jù)cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{11}{14}$，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα和sin（α-β）的值，然后把2α-β變?yōu)椋é?β）+α，利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答 解：因為α，β均為銳角，cosα=$\frac{1}{7}$，所以sinα=$\sqrt{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
由cos（α-β）=$\frac{11}{14}$，得到sin（α-β）=±$\sqrt{1-（\frac{11}{14}）^{2}}$=$±\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
則cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα=$\frac{11}{14}×\frac{1}{7}±\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{11±60}{98}$，
∴cos（2α-β）=$\frac{71}{98}$，或cos（2α-β）=$-\frac{49}{98}$=-$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角差的余弦函數(shù)公式化簡求值．本題的突破點是角度的變換即2α-β=（α-β）+α．