Question

18．若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，求a_n．

Answer 1

分析 通過(guò)$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$與$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{n+1}{2}$作差、計(jì)算可知a_n+1=（n+1）•3ⁿ⁺¹，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{n+1}{2}$，
兩式相減得：$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$）=n+1，
∴a_n+1=（n+1）•3ⁿ⁺¹，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，即a₁=3滿足上式，
∴a_n=n•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．