Question

1．以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
（1）若x∈R，則x²+$\frac{1}{4}$≥x；
（2）若x≠kπ，k∈Z，則sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；
（3）設(shè)x，y＞0，則$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}}）$的最小值為8；
（4）設(shè)x＞1，則x+$\frac{1}{x-1}$的最小值為3．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）作差配方為x²+$\frac{1}{4}$-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$≥0，即可判斷出正誤；
（2）取x=$\frac{7π}{6}$，sinx+$\frac{1}{sinx}$=$-\frac{1}{2}$-2＜0，即可判斷出正誤；
（3）設(shè)x，y＞0，則$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}}）$=5+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤；
（4）設(shè)x＞1，則x-1＞0，變形x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．

解答 解：（1）若x∈R，則x²+$\frac{1}{4}$-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$≥0，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，∴x²+$\frac{1}{4}$≥x，正確；
（2）若x≠kπ，k∈Z，取x=$\frac{7π}{6}$，sinx+$\frac{1}{sinx}$=$-\frac{1}{2}$-2＜0，因此不成立；
（3）設(shè)x，y＞0，則$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{4}{y}}）$=5+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}$$≥5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y＞0時(shí)取等號(hào)，其最小值為9，因此不正確；
（4）設(shè)x＞1，則x-1＞0，∴x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1=$2\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，∴最小值為3，正確．
綜上可得：只有（1）（4）正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、舉反例否定一個(gè)命題的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．