Question

17．若函數f（x）=m•4^x-3×2^x+1-2的圖象與x軸有交點，則實數m的取值范圍是（0，+∞）．

Answer 1

分析 根據函數與方程之間的關系轉化為f（x）=m-4^x-3×2^x+1-2=0，有根，利用換元法結合指數函數和一元二次函數的性質進行轉化進行求解即可．

解答 解：若f（x）=m•4^x-3×2^x+1-2的圖象與x軸有交點，
即f（x）=m•4^x-3×2^x+1-2=0，有根，
即m•4^x=3×2^x+1+2，
則m=$\frac{6•{2}^{x}+2}{{4}^{x}}$=$\frac{6}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{（{2}^{x}）^{2}}$，
設t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則t＞0，
則函數等價為m=6t+2t²=2（t²+3t）=2（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{2}$，
∵t＞0，
∴y=6t+2t²=2（t²+3t）=2（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{2}$＞0，
即m＞0，
故答案為：（0，+∞）

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用換元法和轉化法結合指數函數和一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．