Question

17．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁的中點，DC₁⊥BD．
（1）證明：DC₁⊥BC；
（2）若∠ACB=90°，求點C到平面BDC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）證明DC₁⊥面BCD，即可證明DC₁⊥BC；
（2）過C作CE⊥BD，則CE⊥面BC₁D，CE為點C到平面BDC₁的距離，利用等面積求點C到平面BDC₁的距離．

解答 （1）證明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°
∴DC₁⊥DC，DC₁⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC₁⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC₁⊥BC；
（2）解：∵DC₁⊥面BCD，DC₁?面BC₁D
∴面BC₁D⊥面BCD，
過C作CE⊥BD，則CE⊥面BC₁D，CE為點C到平面BDC₁的距離．
△BCD中，BC=1，CD=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$，BC⊥CD，S_△BCD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}h$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．