Question

12．已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相切，且l與該雙曲線的漸近線相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABO（O為原點(diǎn)）為鈍角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{3}$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 先求出A，B坐標(biāo)，根據(jù)△ABO（O為原點(diǎn)）為鈍角三角形，∠AOB＞90°，∠AOF＞45°，b＞1，即可求出離心率的范圍．

解答 解：拋物線y²=4x的準(zhǔn)線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相切，∴a=1，漸近線方程為y=±bx
x=-1，y=±b，∴A（-1，b），B（-1，-b），
∵△ABO（O為原點(diǎn)）為鈍角三角形，∴∠AOB＞90°，∴∠AOF＞45°，∴b＞1
∴c²=a²+b²＞2，∴e＞$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的離心率的范圍的求法，關(guān)鍵是確定b＞1．