Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AC的中點(diǎn)為D
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）若平面ABC⊥平面ABB₁A₁，AA₁=AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$AC=2，∠A₁AB=60°，求三棱錐D-A₁BC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AB₁交A₁B于E點(diǎn)，連結(jié)DE，利用中位線定理證明DE∥B₁C．從而證明結(jié)論；
（2）三棱錐D-A₁BC₁的體積等于棱柱的體積減去三個(gè)棱錐的體積．

解答 證明：（1）連結(jié)AB₁交A₁B于E點(diǎn)，連結(jié)DE，
∵四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，∴E是AB₁的中點(diǎn)，
∵D是AC的中點(diǎn)，∴DE是△AB₁C的中位線，∴DE∥B₁C．
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）取AB中點(diǎn)F，連結(jié)A₁F．
∵AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，∴△AA₁B是等邊三角形，∴A₁F⊥AB，A₁F=$\sqrt{3}$．
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，∴A₁F⊥平面ABC．
∵AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$AC=2，∴BC=AC=$\sqrt{2}$，∠ACB=90°．
∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×BC×AC×A₁F=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱錐{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×CD×BC×A₁F=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．
V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×BC×{A}_{1}F$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．
V${\;}_{棱錐B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴V${\;}_{棱錐D-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}B{{\;}_{1}C}_{1}}$-V${\;}_{棱錐{C}_{1}-BCD}$-V${\;}_{棱錐{A}_{1}-ABD}$-${\;}_{棱錐B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，幾何體的體積計(jì)算，作差法是求不規(guī)則幾何體的常用方法．