Question

7．已知小明參加了一種“接龍紅包”的游戲，小明在紅包里裝了12元現(xiàn)金，然后發(fā)給朋友A，并給出金額所在區(qū)間[5，20]，讓A猜（所猜金額為整數(shù)元，下同），如果A猜中，A將獲得紅包里的金額；如果A未猜中，A要將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，同時給出金額所在區(qū)間[8，17]，讓B猜，如果B猜中，A和B可以平分紅包里的金額；如果B未猜中，B要將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，同時給出金額所在區(qū)間[10，15]，讓C猜，如果C猜中，A、B和C可以平分紅包里的金額；如果C未猜中，C要將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友D，同時給出金額所在區(qū)間[12，13]，讓D猜，如果D猜中，A、B、C、和D可以平分紅包里的金額；如果D未猜中，紅包里的資金將退回至小明的賬戶．
（1）求A至少獲得4元的概率；
（2）記B所獲得的金額為ξ元，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A表示“A猜中”，事件B表示“B猜中”，事件C表示“C猜中”，事件D表示“D猜中”，則P（A）=$\frac{1}{16}$，P（B）=$\frac{1}{10}$，P（C）=$\frac{1}{6}$，P（D）=$\frac{1}{2}$，A至少獲得4元情況有3種：A猜中，A沒猜中B猜中，A、B都沒猜中C猜中，由此能求出A至少獲得4元的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，3，4，6，分別求出ξ的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）設(shè)事件A表示“A猜中”，事件B表示“B猜中”，
事件C表示“C猜中”，事件D表示“D猜中”，
則P（A）=$\frac{1}{16}$，P（B）=$\frac{1}{10}$，P（C）=$\frac{1}{6}$，P（D）=$\frac{1}{2}$，
A至少獲得4元情況有3種：A猜中，A沒猜中B猜中，A、B都沒猜中C猜中，
∴A至少獲得4元的概率：
p=$\frac{1}{16}+\frac{15}{16}×\frac{1}{10}+\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{1}{6}$=$\frac{19}{64}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，3，4，6，
P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$+$\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2}$=$\frac{53}{128}$，
P（ξ=3）=$\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2}$=$\frac{45}{128}$，
P（ξ=4）$\frac{15}{16}×\frac{9}{10}×\frac{1}{6}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=6）=$\frac{15}{16}×\frac{1}{10}$=$\frac{3}{32}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	3	4	6
P	$\frac{53}{128}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{3}{32}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=$0×\frac{53}{128}+3×\frac{45}{128}$+$4×\frac{9}{64}$+6×$\frac{3}{32}$=$\frac{279}{128}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．