Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=kn（n+1）-n（k∈R），公差d為2．
（1）求a_n與k；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n-b_n-1=n•2 an（n≥2），求b_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)通項公式及和與項的關(guān)系，列出關(guān)于首項公差的方程組，解之即可；
（2）首先考慮利用迭代法去求b_n，在求bn的過程中，將問題轉(zhuǎn)化成了一個求和問題，根據(jù)其特點(diǎn)（等差×等比）求和，所以采用錯位相減法．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得a₁=s₁=2k-1，
a₂=s₂-s₁=4k-1，
由a₂-a₁=2得k=1，
則a₁=1，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）b_n=bn-1+n•2an=bn-2+(n-1)2an-1+n•2an=…
=b1+2×2a2+3×2a3+…+(n-1)•2an-1+n•2an
由（Ⅰ）知2an=22n-1，且b₁=2，所以
bn=1×21+2×23+3×25+…+（n-1）×2^2n-3+n×2^2n-1
4b_n=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+（n-1）×2^2n-1+n×2²ⁿ⁺¹，
上述兩式相減得
-3b_n=2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1-n×2²ⁿ⁺¹=

2(1-4n)

1-4

-2n•4n
∴b_n=

2(1-4n)

9

+

2

3

n?4ⁿ=

2[(3n-1)•4n+1]

9

．
顯然n=1時，上式也成立．
綜上所述，b_n=

2[(3n-1)•4n+1]

9

．

點(diǎn)評：錯位相減法是高考求和考查中的重點(diǎn)，關(guān)鍵在于弄清通項特點(diǎn)是否符合“錯位相減法”適用條件，第二弄準(zhǔn)錯位相減后可求和化簡部分的項數(shù)；最后勿忘記還原．