Question

已知函數(shù)f（x）=x²lnx，
（1）求f（x）的極值；
（2）記D={x|f（x）＞e²}，求當(dāng)x∈D時，G（x）=

lnx

lnf(x)

的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）確定函數(shù)的定義域并求導(dǎo)，從而確定極小值；（2）化簡集合D，利用換元法求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
令f′（x）=x（2lnx+1）=0解得，x=

1

e

．
在x=

1

e

附近，左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0，
則f（x）在x=

1

e

上取得極小值-

1

2e

．
（2）D={x|f（x）＞e²}={x|x＞e}，
令lnx=t（t＞1），則lnf（x）=2t+lnt，
G（x）=

lnx

lnf(x)

=

t

2t+lnt

=

1

2+ lnt t

，
令H（t）=

lnt

t

，（t＞1）
則H′（t）=

1-lnt

t2

，
則H（t）在（1，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減；
則H（t）≤H（e）=

1

e

，
則2+

lnt

t

≤

2e+1

e

，
則

1

2+ lnt t

＜0或

1

2+ lnt t

≥

e

2e+1

，
即G（x）的值域為（-∞，0）∪[

e

2e+1

，+∞）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域；利用換元法求值域時要注意其取值范圍．