Question

2．設(shè)x＞0，y＞0，x+$\frac{1}{x}$+$\frac{y}{2}$+$\frac{8}{y}$=10．則2x+y的最大值為18．

Answer 1

分析 變形利用基本不等式的性質(zhì)和一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：設(shè)2x+y=t（t＞0），
x+$\frac{1}{x}$+$\frac{y}{2}$+$\frac{8}{y}$=10即為$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{y}$=10-$\frac{1}{2}$t，
即有t（10-$\frac{1}{2}$t）=（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{y}$）=10+$\frac{y}{x}$+$\frac{16x}{y}$
≥10+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{16x}{y}}$=18，
當(dāng)且僅當(dāng)y=4x，即x=3，y=12取得等號．
由t（10-$\frac{1}{2}$t）≥18，解得2≤t≤18．
可得2x+y的最大值為18．
故答案為：18．

點(diǎn)評 本題考查了用基本不等式的性質(zhì)和一元二次不等式的解法，注意式子變形的運(yùn)用，屬于中檔題．