Question

20．在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，AE⊥A₁B₁，D為棱A₁B₁上的點(diǎn)．
（1）證明：DF⊥AE；
（2）是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，說明點(diǎn)D的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，求出直線對(duì)應(yīng)的向量，利用向量法進(jìn)行證明垂直問題
（2）求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：（1）證明：∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，
∴AE⊥AB，
又∵AA₁⊥AB，AA₁∩AE=A
∴AB⊥⊥面A₁ACC₁．
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC，
以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則有A（0，0，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），…（4分）
設(shè)D（x，y，z），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，且λ∈[0，1]，即（x，y，z-2）=λ（2，0，0），則D（2λ，0，2），
則$\overrightarrow{DF}$=（1-2λ，1，-2），
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），
∴$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=2-2=0，所以DF⊥AE；…（6分）
（2）存在一點(diǎn)D且D為A₁B₁的中點(diǎn)，使平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$        …（7分）                               
理由如下：由題可知面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
設(shè)面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+z=0}\\{（1-2λ）x+y-2z=0}\end{array}\right.$，
令x=3，則y=1+2λ，z=2（1-λ），則$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2（1-λ））   …（10分）
∵平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
即$\frac{|2（1-λ）|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$或λ=$\frac{7}{4}$（舍），所以當(dāng)D為ABA₁B₁中點(diǎn)時(shí)滿足要求．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線垂直判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．