Question

4．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點為F，若點F關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點在雙曲線的右支上，則該雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（-c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，對稱點為F'（m，n），運用中點坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出對稱點的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（-c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
對稱點為F'（m，n），
即有$\frac{n}{m+c}$=-$\frac{a}$，
且$\frac{1}{2}$•n=$\frac{1}{2}$•$\frac{b（m-c）}{a}$，
解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=-$\frac{2ab}{c}$，
將F'（$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），即（$\frac{{c}^{2}-2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（{c}^{2}-2{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}^{2}}$=1，
化簡可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，即有e²=5，
解得e=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用中點坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．