Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^x的反函數(shù)為f^-1（x）
（1）若f^-1（x）-f^-1（1-x）=1，求實(shí)數(shù)x的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）易得反函數(shù)為f^-1（x）=log₂x，由對數(shù)的運(yùn)算可解x；
（2）問題可化為求函數(shù)y=2^x+2^1-x在區(qū)間[1，2]上的值域，由函數(shù)的單調(diào)性易得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2^x，
∴其反函數(shù)為f^-1（x）=log₂x，
∵f^-1（x）-f^-1（1-x）=1，
∴l(xiāng)og₂x-log₂（1-x）=log₂$\frac{x}{1-x}$=1，
∴$\frac{x}{1-x}$=2，解得x=$\frac{2}{3}$；
（2）∵關(guān)于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有解，
∴2^x+2^1-x-m=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有解，即m=2^x+2^1-x在區(qū)間[1，2]內(nèi)有解，
∴m即為函數(shù)y=2^x+2^1-x在區(qū)間[1，2]上的值域，
∵y=2^x+2^1-x=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y取最小值3，當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值$\frac{9}{2}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，$\frac{9}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查反函數(shù)，涉及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．