Question

12．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若對(duì)于?x∈R，都有f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=e^x-1，則f（2015）+f（-2014）=1-e．

Answer 1

分析 由f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)f（x+2）=-f（x）能得到f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且f（x）的對(duì)稱軸為x=1，從而得出f（2015）+f（-2014）=f（3）-f（2）=f（-1）-f（0）=1-e．

解答 解：f（x+2）=-f（x）；
∴f（x+4）=f（x）；
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
∴f（2015）+f（-2014）=f（3+4•503）-f（2+4•503）=f（3）-f（2）；
而根據(jù)f（x+2）=f（-x）知，f（x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；
∴f（2015）+f（-2014）=f（-1）-f（0）=-f（1）-f（0）=1-e．
故答案為：1-e．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，由f（x+a）=f（-x）便能得到函數(shù)f（x）關(guān)于x=$\frac{a}{2}$對(duì)稱，知道圖象上到對(duì)稱軸距離相等的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．