Question

5．設(shè)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6≤0}\\{2x-y-1≤0}\\{3x-y-2≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值為2a+4，最小值為a+1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，1]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直線y=-ax+z是斜率為-a，y軸上的截距為z的直線，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值為2a+4，最小值為a+1，
∴直線z=ax+y過(guò)點(diǎn)B時(shí)，取得最大值為2a+4，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最小值為a+1，
若a=0，則y=z，此時(shí)滿足條件，
若a＞0，則目標(biāo)函數(shù)斜率k=-a＜0，
要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最小值，在B處取得最大值，
則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-a≥k_BC=-1，
即0＜a≤1，
若a＜0，則目標(biāo)函數(shù)斜率k=-a＞0，
要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最小值，在B處取得最大值，
則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-a≤k_AC=2，
即-2≤a＜0，
綜上-2≤a≤1，
故答案為：[-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件確定A，B是最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論，是中檔題．