Question

17．（1）求以A（-1，2），B（5，-6）為直徑兩端點的圓的方程
（2）點P（a，b）在直線x+y+1=0上，求$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用中點坐標(biāo)公式求出AB的中點C的坐標(biāo)，即為所求圓的圓心坐標(biāo)．再利用兩點間的距離公式求出半徑AC之長，即可得到所求圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）首先將$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值轉(zhuǎn)化為求點（1，1）到點P的距離的最小值，因為點P是直線x+y+1=0上的點，所以最小值即為點P到直線的距離．

解答 解：（1）設(shè)圓心為C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
結(jié)合中點坐標(biāo)公式，得a=2，b=-2，可得C（2，-2）
∵|AC|=$\sqrt{（-1-2）^{2}（2+2）^{2}}$=5
∴圓的半徑r=|AC|=5，（5分）
因此，以線段AB為直徑的圓的方程是（x-2）²+（y+2）²=25．（7分）
（2）$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-1）}^2}}$的最小值為點（1，1）到直線x+y+1=0的距離
而$d=\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，${（\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}）_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．（10分）

點評 本題著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、考查動點問題以及點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．