Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，三角形ABF₂的周長(zhǎng)為$4\sqrt{2}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；  
（2）若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由F₁，F(xiàn)₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，三角形ABF₂的周長(zhǎng)為$4\sqrt{2}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程組，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線AB：y=$\frac{1}{2}$（x+1），代入橢圓得3x²+2x-3=0，由此能求出弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，三角形ABF₂的周長(zhǎng)為$4\sqrt{2}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=4\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=2-1=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）∵直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁（-1，0），
∴直線AB：y=$\frac{1}{2}$（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2x-3=0，
△=4+36=40＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-1，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）（\frac{4}{9}+4）}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
∴$|AB|=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．